A FERMIONIC FIELD THEORY FOR SPANNING HYPERFORESTS

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Il modello di Potts generalizza il modello diIsing del ferromagnetismo assumendo che le variabili di spin possanoassumere q stati distinti. L’interazione tra i primi vicini è adue soli valori a seconda che questi si trovino nello stesso stato oin stati differenti.

Nonostante questo modello abbia ricevuto inizialmente poca attenzione,fin dagli anni ’70 è stato oggetto di grande interesse a seguito delsuo ricco comportamento critico e dei suoi stretti legami con alcuniproblemi di statistica su reticolo, di combinatoria e di teoria deigrafi.
Nel 1972 Fortuin e Kasteleyn mostrarono che èpossibile estendere la definizione del modello di Potts anche a valoridi q non interi. Nel caso in cui l’interazione sia esclusivamenteferromagnetica, questa estensione definisce una misura diprobabilità, nota con il nome di random-cluster model, che include come caso particolare (q=1) il già noto modello di percolazione.
In questa tesi considereremo in particolar modo il limite q -> 0del modello di Potts. Questo caso limite ha unparticolare significato combinatorio, infatti la funzione dipartizione del modello di Potts corrisponde per q -> 0 allafunzione generatrice delle foreste massimali sul grafo in cui ilmodello è definito.
Il limite q -> 0 del modello di Potts acquista ulteriore interessea seguito della recente scoperta per cui essopuò essere descritto da una teoria fermionica contenente un termineGaussiano e uno speciale accoppiamento a quattro fermioni. Questa teoria fermionica risulta essere equivalente, ad ogni ordineperturbativo, al modello O(N) prolungato analiticamente a N = -1 ead un modello sigma non lineare con gruppo di (super) simmetria OSP(1|2).
Questa corrispondenza, seppur perturbativa, ci segnala che, in duedimensioni, questa teoria è asintoticamente libera come gran partedei modelli sigma non-lineari e le teorie di gauge non-abeliane inquattro dimensioni.
In questo lavoro viene sviluppata un estensione della teoriafermionica sopracitata al caso in cui siano presenti interazioni apiù corpi.
Generalizzando opportunamente il modello di Potts per includere taliinterazioni, si mostra come nel limite q -> 0 la funzione dipartizione di questo modello si riconduca alla funzione generatricedelle iperforeste massimali sull’ipergrafo definito dall’interazione apiù corpi. Viene quindi formulata in termini di variabili diGrassmann una teoria fermionica che descrive tali oggetti combinatori.

Successivamente questa teoria viene studiata nell’ipotesi che leinterazioni formino un ipergrafo completo. In questo caso, chefisicamente corrisponde ad una teoria di campo medio, il modello èesattamente risolubile e la funzione di partizione può esserecalcolata esplicitamente. Ciò costituisce di per sé un risultatodi interesse combinatorio in quanto fornisce il conteggio delleiperforeste massimali sull’ipergrafo completo.
Si mostra infine questa teoria sia anch’essa in corrispondenza (sempreperturbativa) con un modello sigma non lineare con supersimmetria OSP(1|2). Viene osservato come la supersimmetria del modellosigma non lineare induca nella teoria puramente fermionica unasuper-simmetria non manifesta e come questa sia in relazione conl’algebra dei prodotti scalari per N = -1.