INTRODUZIONE AL LUOGO DELLE RADICI

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Il luogo delle radici è un diagramma che mostra come si spostano i poli di un sistema dinamico lineare stazionario a singolo ingresso e singola uscita (SISO) al variare di un parametro.

Luogo delle radici per sistemi in retroazione

Per i sistemi in retroazione generalmente il parametro di riferimento è il guadagno d’anello aperto k. Per anello aperto si intende il blocco costituito dal sistema controllato e dal controllore: esso è descritto da una funzione di trasferimento che indichiamo con kG(s) (nell’ipotesi di avere un controllore puramente proporzionale oppure avendo cura di porre la componente dinamica del controllore all’interno della G(s)). La funzione di trasferimento del sistema retroazionato è data da

L(s)=frac{kG(s)}{1+kG(s)}

questo è vero se l’uscita del sistema viene riapplicata in ingresso attraverso una semplice operazione di differenza; si faccia riferimento alla figura. Questa forma di controllo è caratteristica dei sistemi stabili, in cui un incremento dell’uscita contribuisce a ridurre l’effetto dell’ingresso.

Sistema in retroazione[1]

Si supponga adesso di far variare il guadagno d’anello k; i poli del sistema in ciclo chiuso L(s), che chiameremo particelle, si sposteranno sul piano di Gauss descrivendo una serie di curve continue, i cosiddetti rami o traiettorie del luogo delle radici. Quest’ultimo dipenderà esclusivamente dai poli, ed in generale anche dagli zeri, della funzione di trasferimento che descrive il sistema ad anello aperto kG(s). L’importanza di questa analisi risiede nel fatto che le variabili non controllabili (dovute a rumore a bassa frequenza, derive termiche, incertezza sui parametri e così via), di norma, agiscono solo su k, e non sulla posizione delle singolarità di G(s), che tipicamente sono note. Il luogo delle radici è importante anche in fase di sintesi, perché consente di stabilire le modifiche da apportare ad un eventuale controllore nel caso si desiderino determinate prestazioni (stabilità, velocità di risposta e così via).

Considerazioni generali

La prima osservazione da fare riguarda la posizione “iniziale” (con k

DIAPOSITIVE RIASSUNTIVE

Le presenti diapositive descrivono in modo molto semplice e chiaro il concetto del luogo delle radici e fornisce le basi per affrontare poi esercizi più complessi