ESPONENZIALE DI UNA MATRICE

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DESCRIZIONE

Definizione

 
Data una matrice , l’esponenziale di  è definita mediante questo sviluppo in serie
 
 
dove  indica la matrice identità. 
 

Esponenziale di una matrice diagonalizzabile

 
Se  è una matrice diagonalizzabile, il calcolo dell’esponenziale  può essere effettuato senza bisogno di ricorrere alla definizione. Detta  la matrice del cambio di coordinate, risulta
 
 
dove  è una matrice in forma diagonale se tutti gli autovalori di  sono reali, mentre è in forma diagonale reali a blocchi se  ammette autovalori complessi.
 
Nel caso di matrici diagonalizzabili dunque è sufficiente calcolare, oltre alla matrice del cambio di coordinate, l’esponenziale p della matrice diagonalizzata, e tale calcolo è relativamente semplice.
Per calcolare  si distinguono i casi in cui  è una matrice in forma diagonale da quello in cui  è in forma diagonale reale a blocchi.
 
 ha tutti gli autovalori reali
 
Se la matrice  ha tutti gli autovalori reali, e questi sono pari a , ed inoltre se  è la matrice del cambio di coordinate, allora
 
 
dove
 
 
L’esponenziale di  è banalmente la matrice ottenuta calcolando gli esponenziali degli elementi sulla diagonale principale
 
 
Pertanto, in questo caso, l’esponenziale di  vale
 
 
 ha almeno un autovalore complesso
 
Supponiamo ora che  abbia autovalori complessi, e che i suoi autovalori siano , dove i primi  sono reali, i restanti sono complessi. Scriviamo ogni autovalore complesso con parte immaginaria positiva come
 
 
Se  è la matrice del cambio di coordinate, allora , dove  è una matrice in forma diagonale reale a blocchi, della forma
 
 
Ricordando che per ogni autovalore complesso  (con parte immaginaria positiva)  indica la sua parte reale e  () indica la sua parte immaginaria, l’esponenziale di  vale
 
 
Una volta calcolata  è possibile calcolare anche l’esponenziale di , dato che