LE SERIE NUMERICHE

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In matematica, una serie è la somma degli elementi di una successione. Si tratta di una generalizzazione dell’operazione di addizione, che può essere in tal modo estesa al caso in cui partecipino infiniti termini.

Le serie si distinguono primariamente in base alla natura degli oggetti che vengono sommati. Le serie che ragionevolmente vanno introdotte per prime sono le serie di numeri razionali, entità che sono utilizzate per individuare numeri irrazionali, sia al livello della determinazione di specifici numeri irrazionali calcolabili, sia al livello della trattazione in generale dei numeri irrazionali. Negli sviluppi dell’analisi matematica che seguono la introduzione dei numeri irrazionali vengono ampiamente utilizzate serie di numeri reali e complessi. Inoltre vengono ampiamente trattate serie di funzioni di variabile reale e complessa, entità che costituiscono efficaci strumenti per lo studio delle funzioni speciali e per la risoluzione di equazioni differenziali.

Vengono anche considerate serie di altre entità: serie formali di potenze, serie di vettori, serie di matrici e, più in astratto, di operatori e serie di variabili non commutative, cioè serie di stringhe (nell’ambito della teoria dei linguaggi formali).

Si dice che la serie sum_{n=0}^{infty} a_n è convergente al limite L se la relativa serie delle somme parziali Sk converge a L. Ovvero, si verifica che:

L = sum_{n=0}^{infty}a_n

se e solo se:

L = lim_{k rightarrow infty} S_k

DISPENSE

Queste dispense trattano dettagliatamente le serie numeriche con esercizi. Sono anche considerati le serie numeriche nel campo complesso