LE DERIVATE

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In matematica il concetto di derivata di una funzione è, insieme a quello di integrale, uno dei cardini dell’analisi matematica e del calcolo infinitesimale.

LE DERIVATE PARZIALI

In analisi matematica, la derivata parziale è una prima generalizzazione del concetto di derivata di una funzione reale alle funzioni di più variabili. Se per funzioni reali la derivata rappresenta la pendenza delgrafico della funzione (una curva contenuta nel piano R^2), la derivata parziale in un punto rispetto alla (per esempio) prima variabile di una funzione di x e y rappresenta la pendenza della curva ottenuta intersecando il grafo di f (una superficie contenuta nello spazio R^3) con un piano passante per il punto parallelo al piano y = 0.

Come tecnica di calcolo, la derivata parziale di una funzione rispetto a una variabile x (lo stesso discorso può ripetersi per le altre variabili y, z ecc.) in un punto si ottiene derivando la funzione nella sola variabile x, considerando tutte le altre variabili come se fossero costanti.

Indice

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Definizione [modifica]

Come per la derivata ordinaria la derivata parziale è definita come limite.

Sia Esubseteqmathbb{R}^n aperto. Consideriamo una funzione di n variabili f(vec{x})= f(x_1, x_2,ldots,x_n)~:~Etomathbb{R}. Si definisce derivata parziale di f in vec{x}in E, rispetto alla variabile k-esima xk, il limite, se esiste finito,


frac{partial f(vec{x})}{partial x_k}=lim_{hto 0}frac{f(x_1,x_2,ldots,x_k+h,ldots,x_n)-f(x_1,x_2,ldots,x_n)}{h}

Tale limite è a volte chiamato limite del rapporto incrementale di f nel punto vec{x} rispetto alla variabile xk.

Derivate parziali in R2 [modifica]

Per chiarire le idee, consideriamo l’esempio più semplice, cioè una funzione f con dominio in mathbb{R}^2, insieme formato da tutte le coppie ordinate (x,y); con x,y in mathbb{R};, e con valori in mathbb{R}. Tale funzione in ogni punto left( {x_{{rm 0}{rm ,}} y_{rm 0} } right) del proprio dominio può avere due derivate parziali:

  • derivata parziale di f rispetto a x:


{f_x left( {x_{{rm 0}{rm ,}} y_{rm 0} } right) = {{partial f} over {partial x}}left( {x_{{rm 0}{rm ,}} y_{rm 0} } right) = mathop {lim_{h to 0}} {{fleft( {x_o  + h,y_{rm 0} } right) - fleft( {x_{{rm 0}{rm ,}} y_{rm 0} } right)} over h}}

  • derivata parziale di f rispetto a y:


{f_y left( {x_{{rm 0}{rm ,}} y_{rm 0} } right) = {{partial f} over {partial y}}left( {x_{{rm 0}{rm ,}} y_{rm 0} } right) = mathop {lim_{k to 0}} {{fleft( {x_o ,y_{rm 0}  + k} right) - fleft( {x_{{rm 0}{rm ,}} y_{rm 0} } right)} over k}}

Se entrambi i limiti esistono finiti, allora la funzione f si dice derivabile in (x_0, y_0) in mathbb{R}^2. Il vettore che ha per componenti 
{f_x}; e 
{f_y}; è detto gradiente della funzione f; in (x_0, y_0);

Derivata direzionale [modifica]

La derivata parziale è un caso particolare di derivata direzionale. Usando questo concetto si può definire la derivata parziale come:


frac{partial f}{partial x_k}(vec{x})=frac{partial f}{partial vec v}(vec x)

con vec v=vec e_k=(0,ldots,1,ldots 0), ovvero il versore k − esimo, cioè quel vettore che ha tutte le componenti nulle tranne la k − esima.