MATRICI E DETERMINANTI

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01- Introduzione.

Matrici e determinanti vengono largamente usati nell’algebra lineare, ovvero
negli argomenti legati agli spazi vettoriali e alle loro trasformazioni lineari. Anche i sistemi di equazioni lineari sono riconducibili a matrici e determinati.

Matrici e determinanti sono quindi strumenti di fondamentale importanza per
tutta la matematica.

02 – Matrici m x n.

Introduciamo l’elenco di numeri complessi (nella maggioranza dei casi pratici
gli elementi di una matrice sono numeri, ma potrebbero essere oggetti di un qualunque campo) posizionati nel
riquadro :

       

che si chiama matrice  m
x n (detta anche matrice rettangolare). Gli elementi 
 sono numeri complessi per  i = 1, 2, 3,
…, m   e 
j = 1, 2, 3, …, n .

La matrice  A 
può essere anche indicata sinteticamente con  
 .

La n-pla ordinata    si
chiama riga  i-sima. La m-pla
ordinata    si 

chiama colonna  j-sima.

Due matrici   m x n  
A =    e 
B =  sono
uguali se hanno gli stessi elementi nelle posizioni 

di riga e colonna corrispondenti, ovvero :

       

Fra le matrici   m x n   
A =   e 
B =  si
definisce la somma nel seguente modo :

       

ovvero facendo la somma degli elementi delle due matrici nelle posizioni di riga
e colonna corrispondenti.

Esempio :

       

Esiste la matrice nulla  0
costituita da tutti  0
:

       

Data una matrice  m x n 
A = 
  si
definisce la matrice opposta 
A =   che
si ottiene 

cambiando il segno a tutti gli elementi della matrice data.

Fra la matrice  m x n 
A =    e
la matrice  n x p 
B =  si
definisce la moltiplicazione nel 

seguente modo :

       

Esempio :

       

Fra il numero complesso  k 
e la matrice  m x n 
A =  si
definisce la moltiplicazione scalare 

nel seguente modo :

       

ovvero moltiplicando ogni elemento della matrice per il numero 
k .

Esempio :

       


03 – Matrici n x n.

Se  m = n  le matrici
si dicono quadrate. Gli elementi con indici uguali  
 con  
k = 1, 2, 3, …, n   

costituiscono la diagonale principale della
matrice.

Per le matrici quadrate si
definisce la matrice unità   I  
definita ponendo tutti gli elementi della diagonale 

 principale uguali ad  
1  e ponendo nulli tutti gli
altri. Ovvero :

       


Ovviamente 
A * I = I * A = A  per ogni matrice quadrata 
A  (utilizzeremo, come
sempre, 

 indifferentemente il punto o l’asterisco per indicare la
moltiplicazione) .

L’insieme delle matrici quadrate  n x n  verrà
indicato con  

 (sottintendendo che gli elementi 

delle matrici sono numeri complessi).

(
; +,*)   risulta essere un
anello con unità.

04 – Matrice inversa.

Data una matrice n x n  A  se esiste una
matrice  n x n  B  tale che  A * B = B * A = I , si dice che  

B  è la matrice inversa di  
A .

La matrice inversa di 
A  si indica con   .

Considereremo successivamente le
condizioni per l’esistenza della matrice inversa.

05 – Matrice trasposta.


Data una matrice m x n  A  si dice trasposta di  A 
la matrice  n x m 
ottenuta invertendo per ogni 

 elemento l’indice di 
riga con l’indice di colonna. La matrice trasposta di 
A  si indica con  

 Per cui

       


Esempio :

       

Per le matrici trasposte valgono
le seguenti proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :

       

06 – Permutazioni.

Una applicazione biunivoca di un
insieme su sé stesso si chiama permutazione. Limitiamoci 

 qui a
considerare le permutazioni dell’insieme 

 
ovvero l’insieme dei primi  n  

 numeri naturali.

Una permutazione  α , per cui 
α(i) =    con  
i = 1, 2, …, n , viene indicata nel seguente modo :

       

Esempi :

       

Si noti che, per esempio, che  
  per cui i numeri della prima
riga (in alto) è 

 conveniente che siano sempre posti in ordine crescente. Con
questa convenzione una permutazione 

 può essere scritta semplicemente riportando
solo la seconda riga. Ovvero :

       

Il numero delle permutazioni di  
  è uguale a 
1 * 2 * … * n   =  n! 
(n!  si legge  
“n fattoriale”).

L’insieme delle  
n!   permutazioni  
di   si indica con  
 .

Per esempio 
  è costituito dalle 
3! = 6  permutazioni :

       

In    si può introdurre la moltiplicazione 
*  nel modo naturale
indicato dall’esempio :

       

(il risultato viene ottenuto
prendendo consecutivamente l’elemento della prima permutazione 

 corrispondente
alla posizione indicata da ciascun elemento della seconda permutazione).

La permutazione  ε = (1, 2, …, n) 
è chiamata permutazione unità ed è tale che  α * ε = ε * α = α   

per ogni permutazione   α
.

Per ogni permutazione  α  è definibile
anche la permutazione inversa  
  in modo che   

  .

L’insieme  
  dotato delle entità
sopra definite, è un gruppo non commutativo.

Una permutazione può
essere pari o dispari. Per calcolare il segno di una
permutazione si 

 calcola il numero delle coppie  (i, k)  (dove
i   precede 
k ) all’interno della permutazione per 

 cui sia  i > k .
Se questo numero è pari, la permutazione è pari, altrimenti è dispari.

Esempi :

        –             
(1, 2, 3)   è pari

                     
(1, 3, 2)   è dispari
per via della sola coppia  (3, 2)

                     
(3, 2, 1)   è dispari
per via delle 3 coppie   (3, 2)
, (3, 1) , (2, 1)

07 – Determinanti.

Sia  A  una
matrice a elementi complessi   n x n
,  appartenente cioè a  
 , ed 
α  una delle 
n!  

permutazioni di     . Sia  
 il segno della permutazione  
α   (+1  se la permutazione è pari, 
-1  

 se
la permutazione è dispari).

Si chiama determinate
della matrice  A  e si scrive  det A  oppure  
  il numero 

 complesso :

       

Essendo  n!  il
numero delle permutazioni di  
 , il numero degli addendi che
costituiscono un 

 determinante è  n!
.

Esempi :

        – 1 –        
determinante di una matrice   2
x 2

                        

        – 2 –        
determinante di una matrice   3
x 3

                       

                        
Per il calcolo dei determinati  
3 x 3  ritorna utile il
seguente schema grafico :

    

                        
partendo
dall’alto
a sinistra si ottiene  1*5*9+2*6*7+3*4*8-7*5*3-8*6*1-9*4*2  

                        
che dà appunto il determinate della matrice   3 x 3 .

08 – Proprietà dei
determinanti.

I determinanti soddisfano le
seguenti proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :

        – 1 –        

       
– 2 –        
det(AB) = det A det B     

        – 3 –        
sia  A 
una matrice  n x n .
Sia  B  la matrice che si ottiene moltiplicando per il numero
 
                       
k  tutti gli elementi
di una riga o di una colonna della matrice  
A . Allora  det B = k det A

        – 4 –        
il determinante di una matrice  
n x n  che ha tutti gli
elementi di una riga o di una colonna 
                       
nulli
è nullo

        – 5 –        
sia   A 
una matrice  n x n .
Sia  B 
la matrice che si ottiene scambiando fra loro due righe 

                       
o
due colonne
della matrice   A . Allora  det B = – det A

        – 6 –        
se due righe o due colonne di una matrice 
n x n   sono identiche
allora il suo determinate 

                       
è
nullo

        – 7 –        
sia   A 
una matrice  n x n .
Supponiamo che tutti gli elementi di una riga o di una colonna   

                       
di  
siano la somma di due
numeri. Siano     
e   A’’   le
due matrici che si ottengono    
                      
dalla matrice  A  prendendo
separatamente l’uno e l’altro dei suddetti addendi. Allora
                      
det
A = det A’ + det A’’ .

                       
Esempio :

   
                    

        – 8 –        
sia  A 
una matrice  n x n .
Sia  B 
la matrice che si ottiene da  A  sostituendo tutti gli 

                       
elementi
di una riga o di una colonna con la somma
degli elementi di quella riga o 

                       
colonna
più la somma dei prodotti di numeri
qualsiasi per i corrispondenti elementi 

                       
delle
altre righe o colonne (un numero
per ogni riga o colonna). Allora  det
A = det B .

                       
Esempio :

                       

        

        – 9 –        
il determinante di una matrice triangolare (una matrice con tutti
zero sopra o sotto 
                       
la
diagonale principale) è uguale al prodotto degli elementi
della diagonale principale. 

                       
Esempio
:

   
                    

                       

                      
Lo stesso vale, ovviamente, anche per una matrice diagonale (ha
elementi nulli sopra e 
                      
sotto
la diagonale principale). Esempio :

   
                   

09 – Aggiunto e complemento
algebrico.

Sia  A  una
matrice  n x n 
e sia     un suo elemento
(corrispondente alla riga  r 
ed alla colonna  s ). 

 Il determinante della matrice  (n – 1) x (n – 1) 
che si ottiene dalla matrice  A 
eliminando tutti gli elementi 

 corrispondenti alla riga  
r  ed alla colonna  s  si chiama aggiunto dell’elemento  
.

Il valore ottenuto moltiplicando
l’aggiunto di     per  
 si chiama complemento algebrico
di  

  e si indica con  
 .

Esempio :

       

Riguardo ai complementi
algebrici vale il seguente importante teorema dovuto a Laplace (omettiamo 

 la
dimostrazione) :

        sia 
A  una matrice 
n x n . Il determinante di  A 
è uguale alla somma dei prodotti degli elementi 

        di una qualsiasi riga o
colonna di  A 
per i loro complementi algebrici.

Ovvero :

       

Esempio :

       

Questo teorema è molto
importante perché permette di semplificare il calcolo dei determinati con 

grande vantaggio  per le matrici con
 n > 3 .

Il numero degli addendi che
costituiscono lo sviluppo di un determinante è per definizione  n! che 

 è un numero molto
alto anche per  n 
bassi (es. se  n = 6 
allora  n! = 720) per
cui il calcolo di un 

 determinate qualunque seguendo la definizione può essere
problematico.

Con questo teorema, invece, il
numero delle operazioni necessarie per risolvere un determinate può 

 ridursi
notevolmente per esempio nei casi in cui una riga od una colonna contengono
degli elementi  

 nulli. Se poi, utilizzando le proprietà di invarianza dei
determinanti, si riesce a trasformare righe e  

 colonne in modo da ottenere più
elementi nulli possibile, il vantaggio è ancora maggiore.

Esempio :

       

(si noti che abbiamo trasformato
la seconda riga moltiplicando ogni elemento della prima riga per   

-3  e sommando sulla
seconda riga).

10 – Invertibilità.

Sia  A  una
matrice  n x n . Essa è invertibile,
ovvero esiste la matrice inversa  
 , se e solo se   

det A ≠ 0 .

In questo caso si ha :

       

dove gli  
 sono i complementi algebrici dei
rispettivi elementi di  A .

Per le matrici inverse vale il seguente importante teorema (omettiamo la dimostrazione) :

       

Concludiamo affermando che i sottoinsieme delle matrici   n x n  invertibili costituisce un gruppo 

 moltiplicativo non commutativo che indicheremo con   .

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DETERMINANTE