GRAVITA’ BIDIMENSIONALE E TEORIA QUANTISTICA DI LIOUVILLE

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La teoria di Liouville sulla sfera è legata alla gravità bidimensionale accoppiata a campi scalari di materia e alla teoria di stringa in dimensione non critica. A livello classico la teoria è invariante per azione del gruppo conforme bidimensionale se il campo non è uno scalare, ma trasforma come il fattore conforme di una metrica. In una prima parte della tesi rivediamo la quantizzazione canonica della teoria di Liouville sul cilindro, seguendo il procedimento di Curtright e Thorn (Phys.Rev.Lett 48, 1309); la simmetria conforme rimane valida a livello quantistico se si modifica la legge di trasformazione del campo. Gli operatori di vertice sono campi primari conformi con dimensione quantistica diversa da quella classica. Come in ogni teoria di campo quantistica è fondamentale disporre di uno sviluppo perturbativo. Sulla pseudosfera questo è possibile sviluppando attorno ad un campo di background regolare. Sulla sfera invece non è direttamente possibile a causa di restrizioni topologiche, legate al teorema di Gauss-Bonnet. Lo scopo di questo lavoro di tesi è lo sviluppo di un procedimento che permetta tale approccio perturbativo. Infatti sulla sfera esiste un background classico stabile in presenza di almeno tre sorgenti puntiformi. In analogia con il problema dell'uniformizzazione delle superfici di Riemann, l'equazione classica del campo di Liouville in presenza di tali sorgenti è riconducibile ad un'equazione differenziale fuchsiana che dipende da alcuni parametri completamente determinati dalle sorgenti, e dai parametri accessori di Poincar