FORMALISMO TERMODINAMICO E DINAMICA IPERBOLICA

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Il formalismo della meccanica statistica classica e legato alla teoria della probabilita ed alla teoria ergodica dei sistemi dinamici. Nella prima parte della tesi si espongono, secondo le linee generali desritte da Ruelle e da Sinai, i concetti di base del formalismo termodinamico, della teoria ergodica degli stati di equilibrio e delle transizioni di fase, in modo da adattarle ai sistemi dinamici. La discussione prosegue con la presentazione della teoria ergodica per diffeomorfismi uniformemente iperbolici, o di Anosov, la cui dinamica presenta delle analogie con le traslazioni sui reticoli di spin. Per questi diffeomorfismi si ha a disposizione una teoria sufficientemente completa. L'estensione di questi risultati al di fuori dell'ipotesi di Anosov e un tema di ricerca attuale e viene considerato nell'ultima parte della tesi. In particolare si studiano azioni di rango superiore a uno, ovvero sistemi generati dall'azione di piu mappe che commutano. In questo ambito anche dinamiche molto semplici possono generare problemi di difficile soluzione. Per esempio si congettura che le moltiplicazioni x2 e x3 dell'angolo sulla circonferenza abbiano come unica misura di probabilita non singolare e simultaneamente invariante quella di Lebesgue, ma il problema e aperto da molti anni.