L’INTEGRALE DEFINITO

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Prendendo in esame una generica funzione f(x) positiva nell’intervallo (a,b), l’integrale definito di f(x) nell’intervallo (a,b) e’ l’area delimitata dalle funzioni y=f(x); y=0; e dalle rette x=a; x=b.

L’integrale definito nel compatto  [a,b], in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale e’ dato da

 int_{a}^{b} mx ,mathrm{d}x= left[{{mb^{2}} over {2}} + cright] - left[{{ma^{2}} over {2}} + cright] = m {{b^2-a^2} over {2}}

esattamente (ovviamente) lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

  • Supponiamo di fissare un sistema di riferimento cartesiano attraverso le rette ortogonali ed orientate delle ascisse e delle ordinate. Supponiamo ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è  f(x)=mx. Si vuole calcolare l’integrale di tale retta definita sul compatto  [a,b] situato sull’asse delle ascisse.

Supponiamo per semplicità che i punti a e b si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi.

Allora l’area sottesa alla retta considerata nel compatto  [a,b] è pari all’area di un trapezio che “poggiato” in orizzontale sull’asse delle ascisse è caratterizzato da un’altezza pari a  b-a, base maggiore  mb e base minore  ma. L’area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula  {{1} over {2}}(mb+ma)(b-a), ovvero  m{{b^2-a^2} over {2}}.

Nell’ottica del calcolo dell’integrale di questa retta definita nel compatto  [a,b] effettuiamo una partizione di tale intervallo, dividendolo in n parti uguali

 x_{0}=a; quad x_{1}=a+{{b-a} over {n}}; quad x_{2}= a+2{{b-a} over {n}};quad ...,; quad x_{n}= a+n{{b-a} over {n}}=b

Nel generico intervallo  [x_{i-1},x_{i}] scegliamo come punto arbitrario il punto più esterno  x_{i} (ma andrebbe bene qualsiasi punto dell’intervallo), considerando la funzione  y=mx nel generico punto  x_{i} interno all’intervallo  [x_{i-1},x_{i}].

Si avrà quindi  f(x_{i})=mleft[a+i{{b-a} over {n}}right], e la somma integrale di Riemann diventa

 sigma_{n} = sum_{i=1}^{n} f(x_{i}){{b-a} over {n}} =mleft[a+i{{b-a} over {n}}right]{{b-a} over {n}}=ma(b-a)+mleft({{b-a} over {n}}right)^2 sum_{i=1}^{n}i

nella quale la progressione aritmetica  sum_{i=1}^{n}i= {{n(n+1)} over {2}} restituisce un’espressione delle somme di Riemann pari a

 sigma_{n} = ma(b-a)+m(b-a)^2 {{n+1} over {2n}}

Per passare dalle somme integrali di Riemann all’integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme. Ovvero:

 int^{b}_{a} mx ,mathrm{d}x = lim_{n to + infty} sigma_{n} =  ma(b-a)+m(b-a)^2 lim_{n to + infty} {{n+1} over {2n}}

Calcolando il limite per  n to infty , dato che  {{n+1} over {2n}} to  {{1} over {2}}, s’ottiene

 int^{b}_{a} mx ,mathrm{d}x = lim_{n to + infty} sigma_{n} =  ma(b-a)+{{m(b-a)^2} over {2}}

dalla quale, eseguendo la somma si ricava

 int^{b}_{a} mx ,mathrm{d}x = m{{b^2-a^2} over {2}}

la quale è esattamente l’area del trapezio costruito dalla retta  y=mx sul piano insieme all’asse delle ascisse.

FILE PDF CON LA SPIEGAZIONE DELL’INTEGRALE DEFINITO

Sia f una funzione continua nell’intervallo [a; b]: La regione di piano compresa tra l’asse x; le due rette verticali di equazione x = a e x = b; ed il grafico di f e detta trapezoide relativo ad f e ad [a; b] ; ed e denotata con il simbolo T (f; [a; b]) :